Homothétie 3ème
Dans ce chapitre, nous allons apprendre à :
- Définir une homothétie par son centre et son rapport
- Construire l'image d'un point par une homothétie
- Utiliser les propriétés de l'homothétie sur les longueurs, les angles et les aires
- Construire l'image d'une figure avec un rapport positif ou négatif
1. Définition de l'homothétie
❧ Définition 1 : Homothétie
Une homothétie est une transformation qui agrandit ou réduit une figure en faisant glisser ses points le long de droites passant par un même point O.
Une homothétie est définie par :- un centre O ;
- un rapport k non nul.
Le point M', image d'un point M par l'homothétie de centre O et de rapport k, est tel que :
- O, M et M' sont alignés ;
- OM' = |k| × OM ;
- si k > 0, M' est du même côté de O que M ;
- si k < 0, M' est de l'autre côté de O (le point O est entre M et M').
☛ Exemple : Une figure et ses images par des homothéties de centre O.
La figure de départ (k = 1) est agrandie pour k = 2 et réduite pour k = 0,5. Pour un rapport négatif, l'image est de l'autre côté de O et semble retournée.
❦ Propriété 1 : Effet du rapport k
Pour une homothétie de rapport k :- si |k| > 1, la figure est agrandie ;
- si |k| < 1, la figure est réduite ;
- si k = 1, la figure ne change pas ;
- si k < 0, la figure est de l'autre côté de O, retournée ;
- si k = −1, c'est la symétrie centrale de centre O.
Méthode : pour construire l'image M' d'un point M :
- on trace la droite (OM) ;
- on calcule OM' = |k| × OM ;
- on place M' à cette distance de O, du même côté que M si k > 0, de l'autre côté si k < 0.
☛ Exemples : Placer l'image d'un point M tel que OM = 4 cm.
OM' = 3 × 4 = 12 cm, du même côté de O que M.
OM' = 0,5 × 4 = 2 cm, du même côté de O que M.
OM' = 2 × 4 = 8 cm, de l'autre côté de O.
2. Propriétés de l'homothétie
❦ Propriété 2 : Conservation de la forme
Une figure et son image par une homothétie ont la même forme. L'homothétie conserve :
- les alignements ;
- les angles ;
- le parallélisme.
Conséquence : l'image d'un triangle est un triangle semblable au triangle de départ.
❦ Propriété 3 : Effet sur les longueurs et les aires
Pour une homothétie de rapport k :
- les longueurs sont multipliées par |k| ;
- les aires sont multipliées par k².
Pour k > 0, |k| = k : les longueurs sont multipliées par k.
☛ Exemple : Le rectangle A'B'C'D' est l'image du rectangle ABCD par l'homothétie de centre O et de rapport k = 3.
= 3 × 2 = 6 cm
= 3² × Aire(ABCD)
Comme AB = 2 cm, on a A'B' = 6 cm. Comme l'aire de ABCD est 2 cm², l'aire de A'B'C'D' est 18 cm².
☛ Exemple : Avec un rapport négatif.
Un segment de 3 cm devient un segment de 6 cm pour k = −2.
Une aire de 5 cm² devient une aire de 20 cm² pour k = −2.
Attention : le rapport k peut être négatif, mais une longueur est toujours positive : on multiplie les longueurs par |k|, pas par k.
3. Application : construire des images d'un triangle
☛ Application : Construire les images d'un triangle.
Construire les images du triangle ABC par les homothéties de centre O et de rapports 3, −1 et −2.
Correction : pour chaque sommet, on trace la droite passant par O, puis on place son image avec la méthode vue plus haut. Ensuite, on relie les trois images.
- Pour k = 3, A', B' et C' sont du même côté de O que A, B et C, trois fois plus loin de O : le triangle est agrandi.
- Pour k = −1, A'', B'' et C'' sont de l'autre côté de O, à la même distance de O : le triangle a la même taille, mais il est retourné.
- Pour k = −2, A''', B''' et C''' sont de l'autre côté de O, deux fois plus loin : le triangle est agrandi et retourné.
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Ce chapitre sur l'homothétie 3ème vous a permis de comprendre comment agrandir, réduire ou retourner une figure avec un centre et un rapport.
Grâce à ce chapitre, vous savez construire l'image d'un point et d'une figure par une homothétie et utiliser le rapport k sur les longueurs et les aires.
Prochaines étapes
La pratique régulière est essentielle pour maîtriser l'homothétie. Pour progresser :- Relisez les définitions et refaites les exemples avec d'autres rapports.
- Revoyez les bases avec le chapitre Triangles semblables, agrandissement et réduction 3ème.
- Appliquez ces notions avec les chapitres Le théorème de Thalès 3ème et Proportionnalité 3ème.
- Programmez des transformations avec le chapitre Scratch 3ème, pour tracer des figures de tailles différentes avec un bloc personnalisé.
- Poursuivez votre progression en explorant les autres chapitres de 3ème.
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