Proportionnalité 3ème
La proportionnalité en 3ème est un chapitre essentielle en mathématiques au collège. Nous allons aller bien au-delà des simples calculs pour comprendre en profondeur comment les grandeurs sont liées entre elles.
Vous découvrirez comment la proportionnalité est partout autour de nous, à travers des applications concrètes:
La vitesse moyenne : Comprenez le lien entre distance, temps et vitesse pour calculer vos trajets ou analyser des mouvements.
Les pourcentages : Maîtrisez les réductions, les augmentations et les calculs de parts, indispensables dans la vie quotidienne (soldes, statistiques, etc.).
Les échelles : Apprenez à décrypter les plans, les cartes et les maquettes.
1. Vitesse moyenne
Cours
Définition : La vitesse moyenne « v » est égale au quotient de la distance « d » par le temps « t ».
Formule: v=d/t
Remarques :
- Si la distance « d » est exprimée en « m » et la durée « t » en s alors la vitesse moyenne « v » sera exprimée en « m / s »
- Pour changer d’unités de vitesse, on convertit indépendamment les unités de distance et de durée choisies.
Exemple : Un train a parcouru 456 km en 2h.
- Calculer sa vitesse moyenne v en km/h
v=d/t=456/2=228 km/h
- Exprimer cette vitesse en m/s
456 km = 456 000 m
2h = 3600 x 2 = 7200 s
Donc
v=d/t=456000/7200=63,33 m/s
Exercices d'application
Proportionnalité – Vitesse moyenne.pdf
Correction des exercices d’application :
2. Pourcentages
Cours
Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité.
Propriété : « p » désigne un nombre décimal. Pour calculer « p % » d’une quantité, on multiplie cette quantité par « p/100 ».
Exemples :
- Pour calculer 12% de 350 euros, on effectue le calcul suivant : 350 x 12/100 = 42 euros.
- Pour déterminer un pourcentage
Dans un collège de 600 élèves, 174 élèves font de l’allemand.
Quel est le pourcentage d’élèves du collège faisant de l’allemand ?
Pour calculer un pourcentage, on calcule une quatrième proportionnelle (on applique le produit en croix).
| Pourcentage | ||
|---|---|---|
| Nombre d'élèves du collège | 600 | 100 |
| Nombre d'élèves du collège faisant de l'allemand | 174 |
On effectue le produit en croix suivant : 100 x 174 / 600 = 29 %
Il y a 29 % d’élèves qui fait allemand au collège.
Exercices d'application
Proportionnalité – Pourcentages.pdf
Correction des exercices d’application :
3. Augmentation / Réduction
Cours
Propriétés : « p » est un nombre positif.
– Augmenter un nombre de « p % » revient à multiplier ce nombre par « (1+(p/100)) ».
– Diminuer un nombre de « p % » revient à multiplier ce nombre par « (1-(p/100)) ».
Exemples :
- Augmenter un nombre de 5%, c’est le multiplier par (1 + (5/100)).
- Diminuer un prix de 15 %, c’est le multiplier par (1 – (15/100)).
Exercice : En caisse, on accorde 30% de réduction sur un jean à 34,90 euros. Calculer le nouveau prix.
Réponse : On applique une réduction de 30% sur un jean à 34,90 euros. On va donc multiplier le prix du jean par (1 – (30/100)).
34,90 x (1 – (30/100)) = 24,43 €
Le nouveau prix du jean est de 24,43 €.
Exercices d'application
Proportionnalité – Augmentation et réduction.pdf
Correction des exercices d’application :
4. Echelles
Cours
Il y a proportionnalité entre les longueurs réelles et les longueurs d’une reproduction (plan, carte ou dessin).
L’échelle de la reproduction est le quotient d’une longueur sur la reproduction par la longueur réelle correspondante.
Échelle « e » = Dimension sur le plan (cm) / Dimension réelle (cm)
Remarque: Les longueurs doivent être exprimées en centimètres.
Exemple 1: L’échelle d’une carte est égale à 1/1000.
Cela signifie que 1 cm sur le plan représente 1000 cm dans la réalité.
Combien mesure sur cette carte une longueur de 250 m dans la réalité?
On convertit les 250 m en cm.
250 m = 25 000 cm
Pour répondre à la question, on peut s’aider d’un petit tableau afin de trouver la réponse à l’aide d’un produit en croix.
| Longueur réelle (cm) | 1000 | 25000 |
|---|---|---|
| Longueur sur le plan (cm) | 1 | ? |
25000 x 1 / 1000 = 25 cm.
Donc une longueur de 250 m dans la réalité est représentée par 25 cm sur la carte.
Exemple 2: On représente sur un dessin une longueur de 750 m par une longueur de 5 cm.
Déterminer l’échelle du dessin.
On doit convertir les 750 m en cm.
750 m = 75 000.
Échelle « e » = Distance sur le plan / Distance réelle = 5 / 75000 = 1 / 15000
L’échelle du dessin est donc de 1 / 15000.
Vous avez désormais toutes les méthodes en main pour identifier et analyser les relations de proportionnalité. Ce cours vous a permis de solidifier des compétences essentielles, notamment l’utilisation du produit en croix et des coefficients multiplicateurs, appliquées à des situations concrètes :
Vitesse moyenne : Vous savez calculer le lien entre distance et temps.
Pourcentages : Vous maîtrisez les augmentations et réductions, indispensables pour comprendre les prix et les statistiques.
Échelles : Vous êtes capable d’interpréter les plans et cartes en faisant le lien entre les dimensions réelles et les représentations.
La compréhension de la proportionnalité est fondamentale : c’est une compétence cruciale pour les épreuves du Brevet et elle vous servira quotidiennement.
Prochaines Étapes
La pratique régulière est essentielle pour se familiariser avec la proportionnalité. Pour exceller :
Révisez attentivement les exercices corrigés pour vous familiariser.
Poursuivez votre progression en explorant les autres chapitres de 3ème.
N’hésitez pas à utiliser les ressources complémentaires sur la chaîne Youtube FormaMaths pour des explications visuelles ou bien prendre des cours particuliers. Vous pouvez essayer des maintenant gratuitement et sans condition nos cours particuliers.
